考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:利用均值定理求出f(x)
max=
.利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出g(x)
min=g(1)=e.由不等式
≤
恒成立,且k>0,得到
≤,由此能求出正數(shù)k的取值范圍.
解答:
解:x>0時(shí),∵f(x)=
=
≤
,∴f(x)
max=
.
∵g(x)=
,∴
g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=1.
當(dāng)x∈(0,1),g(x)′<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0.
∴g(x)
min=g(1)=e.
∴對(duì)任意的x
1,x
2∈(0,+∞),g(x)
min>f(x)
max.
∵不等式
≤
恒成立,且k>0,
∴
≤,解得k≥
.
∴正數(shù)k的取值范圍是[
,+∞).
故答案為:[
,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性,最值求解中的應(yīng)用是解答本題的另一重要方法,函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化,本題具有一定的難度.