Question

等差數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)的和為S_n，且S₅=45，S₆=60．

（1）求{a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{b_n} 滿足b_n﹣b_n=a_n﹣1（n∉N^*），且b₁=3，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．求證：T_n＜．

Answer 1

考點(diǎn)：

數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和．

專題：

綜合題．

分析：

（1）a₆=S₆﹣S₅=15，由=60，解得a₁=5，再由d==2，能求出{a_n} 的通項(xiàng)公式．

（2）由b₂﹣b₁=a₁，b₃﹣b₂=a₂，b₄﹣b₃=a₃，…，b_n﹣b_n﹣1=a_n﹣1，疊加得=，所以.，由裂項(xiàng)求和法能夠證明T_n＜．

解答：

（1）解：a₆=S₆﹣S₅=15，由=60，

解得a₁=5，又∵d==2，

所以a_n=2n+3．…4

（2）證明：∵b₂﹣b₁=a₁，

b₃﹣b₂=a₂，

b₄﹣b₃=a₃，

…

b_n﹣b_n﹣1=a_n﹣1，

疊加得=，

所以．…（9分）∴，

∴

=

=．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，證明T_n＜．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用和裂項(xiàng)求和法的靈活運(yùn)用．