Question

如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形.

(1)求證DM∥平面APC;

(2)求證平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=PC=4, 求二面角P-AB-C的正弦值.

 

Answer 1

(3)

【解析】

試題分析：

(1)從平面內(nèi)找一條與平行的直線,根據(jù)題意可知, 是的中位線,有∥,則證明.

(2)要證面面垂直得有線面垂直,根據(jù)題意可證,從而得到,進(jìn)而有,最終可證.

(3)首先得做出二面角的平面角,所以過作，垂足為，連接,猜想為二面角的平面角,根據(jù)二面角的平面角定義,只需證明 ,顯然根據(jù)已知以及(1)中的結(jié)論,可證平面,則可證明猜想.將放入中,即可求其正弦值.

 

證明為中點(diǎn), 為中點(diǎn),

中,有∥,

又,

∥平面

(2)證明為正三角形,且為中點(diǎn),

又由(1)知, ∥.

又,

(3)

過作，垂足為，連接，

，為中點(diǎn)，

，又由（2）知平面，

,平面,

 

又平面,

為二面角的平面角

,為中點(diǎn),,又由（2）平面，∴，，

又 ，為中點(diǎn),為正三角形，

∴，

∴，

∴

∴在，

即二面角的正弦值為．

考點(diǎn)：線面平行，面面垂直，二面角.