Question

22、已知函數(shù)f（x）=e^x-kx（x∈R）
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k＞0且對任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（|x|）是偶函數(shù)，只要f（x）＞0對任意x≥0恒成立即可，等價于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．

解答：解：（1）f'（x）=e^x-e，令f'（x）=0，解得x=1
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-∞，1）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減．（6分）
（2）∵f（|x|）為偶函數(shù)，∴f（|x|）＞0恒成立等價于f（x）＞0對x≥0恒成立
當(dāng)x≥0時，f'（x）=e^x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk
（1）當(dāng)lnk＞0，即k＞1時，f（x）在（0，lnk）減，在（lnk，+∞）增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e
（2）當(dāng)lnk≤0，即0＜k≤1時，f'（x）=e^x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1
綜上，0＜k＜e．（12分）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和中的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化的思想方法以及分析問題的能力．本題的第二問實際上是e^x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)進行解答，即：當(dāng)x=0時，k∈R；當(dāng)x＞0時，
由e^x-kx＞0，得$k＜\frac{e^x}{x}$，令$φ（x）=\frac{e^x}{x}$，只要k＜[φ（x）]_min即可．