Question

已知正項數(shù)列{a_n}，其前n項和S_n滿足10Sn=

a

2 n

+5an+6，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁，a₃，a₁₅成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，可以得到a_n與a_n-1的差為定值，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義得到答案；
（2）結(jié)合a₁，a₃，a₁₅成等比數(shù)列，令n=1，我們可以求出a₁，分類討論后，即可得到滿足條件的a₁及a_n與a_n-1的關(guān)系，進而求出數(shù)列{a_n}的通項a_n．

解答：證明：（1）∵10Sn=

a

2 n

+5an+6…①
∴10Sn+1=

a

2 n+1

+5an+1+6…②
②-①得：
10an+1=

(a

2 n+1

-

a

2 n

)+5(an+1-an)
即

(a

n+1

-

a

n

-5)•(an+1+an)=0
∵數(shù)列{a_n}為正項數(shù)列
∴（a_n+1+a_n）≠0
∴

a

n+1

-

a

n

=5
即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
（2）當(dāng)n=1時，10S1=10a1=

a

2 1

+5a1+6
解得a₁=2，或a₁=3
由（1）得等差數(shù)列{a_n}的公差d=5，
當(dāng)a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73． a₁，a₃，a₁₅不成等比數(shù)列
∴a₁≠3；
當(dāng)a₁=2時，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，
∴a₁=2，
∴a_n=5n-3．

點評：本題考查的知識點是數(shù)列的通項公式，數(shù)列的函數(shù)特征，其中在已知中包含有S_n的表達(dá)式，求通項a_n時，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是最常用的辦法．