已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足:
(1)求的通項公式
(2)當時,求證:

(1),猜測:。用數(shù)學歸納法證明。
(2)即證:

解析試題分析:(1),猜測:。下用數(shù)學歸納法證明:
①當,猜想成立;
②假設(shè)當時猜想成立,即,
由條件,
,
兩式相減得:,則當時,
,
時,猜想也成立。
故對一切的成立。
(2),即證:
,令),則
,
顯然,,所以,
所以上單調(diào)遞減.
,得,即
所以,.       
所以


.  得證。
考點:本題主要考查數(shù)列的概念,數(shù)學歸納法的應用。
點評:難題,歸納推理的一般步驟是:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題。歸納推理問題,往往與數(shù)列知識相結(jié)合,需要綜合應用數(shù)列的通項公式、求和公式等求解。本題利用數(shù)學歸納法證明不等式,對數(shù)學式子變形能力要求較高。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,且 (為常數(shù)),令,求數(shù)列的前項和。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知等比數(shù)列的前項和為,且、、成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列是一個首項為,公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列階“期待數(shù)列”:
;②
(1)若等比數(shù)列 ()階“期待數(shù)列”,求公比;
(2)若一個等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式;
(3)記階“期待數(shù)列”的前項和為
(。┣笞C:;
(ⅱ)若存在使,試問數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”?若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列,
(1)判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列,并說明理由;
(2)如果,試寫出數(shù)列的通項公式;
(3)在(2)的條件下,若數(shù)列得前n項和為,問是否存在這樣的實數(shù),使當且僅當時取得最大值。若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列,a1=1,點在直線上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求證:<1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為,若對于任意的正整數(shù)都有,
(1)設(shè),求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),為正整數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)數(shù)列的通項公式為(),求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足:,,設(shè),若(Ⅱ)中的滿足:對任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列的前n項和(n為正整數(shù))。
(Ⅰ)令,求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)令,試比較的大小,并予以證明。

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