已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。
（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

(1) 數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,  
(2) 當(dāng),當(dāng)時(shí)

解析試題分析：(I)在中,令n=1,可得,即
當(dāng)時(shí),,
.
 
又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
于是.
(II)由(I)得,所以


由①-②得

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由           可猜想當(dāng)證明如下:
證法1:(1)當(dāng)n=3時(shí),由上驗(yàn)算顯示成立。
(2)假設(shè)時(shí)
所以當(dāng)時(shí)猜想也成立
綜合(1)(2)可知 ,對(duì)一切的正整數(shù),都有
證法2:當(dāng)時(shí)

綜上所述,當(dāng),當(dāng)時(shí)
考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，數(shù)學(xué)歸納法
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的結(jié)合通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系來得到通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。屬于中檔題。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：。
（1）求的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)時(shí)，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
（1）寫出與的遞推關(guān)系式，并求,,的值；
（2）猜想關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時(shí)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列
（1）求及；
（2）猜想的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
已知數(shù)列滿足．
（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
正項(xiàng)單調(diào)數(shù)列的首項(xiàng)為，時(shí)，，數(shù)列對(duì)任意均有
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）已知，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分14分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等差數(shù)列滿足，
（I）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（II）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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