Question

【題目】在如圖所示的多面體ABCDEF中，ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四邊形ADEF為等腰梯形，EF∥AD，已知AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADEF；
（2）求直線CF與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：對于等腰梯形ADEF，分別過點E，F(xiàn)作EM⊥AD，F(xiàn)N⊥AD，垂足分別為M，N．

則四邊形EFNM為矩形．

∵DE=AF=EF=2，∴AN=DM=1，NM=2．

∴EM= = ，∴AE2= =12．

∴AE2+DE2=12+4=16=AD2，

∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．

又AE⊥EC，EC∩ED=E，

∴AE⊥平面CDE．∴AE⊥CD，

又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADEF．

又CD平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADEF．

（2）解：如圖所示，分別取AD，EF，BC的中點O，G，Q．

分別以OA，OQ，OG為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

則O（0，0，0），A（2，0，0），C（﹣2，4，0），F(xiàn)（1，0， ），E（﹣1，0， ）， =（﹣3，0， ）， =（﹣4，4，0）， =（﹣1，0， ）．

設平面AEC的法向量為： =（x，y，z）．則 ，即 ，取 =（1，1， ）．

設直線CF與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（1）作FN⊥AD，EM⊥AD，不難得出EFNM為矩形，由邊的大小可得出AE2+DE2=AD2所以∠AED=90°，即AE⊥ED，結合AE⊥EC得出AE⊥平面CDE所以AE⊥CD，從而證明出平面ABCD⊥平面ADEF；（2）取AD，EF，BC的中點O，G，Q，以OA，OQ，OG為x，y，z軸建立空間直角坐標系，用法向量得出直線CF與平面EAC所成角的正弦值.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．