已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(－1)＝2．

(1)求證：f(－x)＝－f(x)．

(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)．

(3)求函數(shù)f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．

答案：
解析：

　　證明：(1)令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＝0．

　　令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，

　　∴f(－x)＝－f(x)．

　　(2)任取x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0．

　　∴f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在R上是減函數(shù)．

　　(3)解：因?yàn)閒(x)在[－3，3]上單調(diào)遞減，所以f(－3)最大，f(3)最�。�

　　f(3)＝f(2)＋f(1)＝2f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6．

　　f(－3)＝－f(3)＝6．

　　∴f(x)在[－3，3]上的最大值為6，最小值為－6．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x-m|＜|y-m|，則稱(chēng)x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：北京市海淀區(qū)2012屆高三下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)文科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)＝則f(f(x))＝________；

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)是________．

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對(duì)x∈R恒成立；

③存在三個(gè)點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))使得△ABC為等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試、理科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型：044

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x－m|＞|y－m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m．

(1)若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；

(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值.寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型：044

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x－m|＜|y－m|，則稱(chēng)x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海高考真題 題型：解答題

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x-m|＞|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m，
(Ⅰ)若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
(Ⅱ)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab；
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)．

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