Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x-y=1，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ²+ρ²sin²θ-2=0，直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）把極坐標(biāo)方程根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）解方程組求得P、Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)O到直線PQ的距離d，可得△OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$•PQ•d的值．

解答 解：（1）曲線C：ρ²+ρ²sin²θ-2=0化為直角坐標(biāo)方程為x²+2y²-2=0，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，表示一個(gè)橢圓．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 求得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，故可設(shè)P（0，-1）、Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
故點(diǎn)O到直線PQ：x-y-1=0的距離為d=$\frac{|0-0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
△OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$•PQ•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．