Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=-20．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算，計算向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角即可；
（2）利用平面向量的數(shù)量積，計算向量的模長即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=-20，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=2×4×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞-4²=-20，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$；
又∵＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞∈[0，π]，
∴向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$；
（2）∵${（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$
=9×2²+6×2×4×cos$\frac{2π}{3}$+4²
=28，
∴|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求夾角與模長的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．