Question

1．已知某圓的極坐標方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，求：
（1）圓的標準方程和參數(shù)方程；
（2）在圓上所有的點（x，y）中x•y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，即ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，利用互化公式可得直角坐標方程，再利用平方關(guān)系即可得出參數(shù)方程．
（2）設(shè)圓上的點$（2+\sqrt{2}cosθ，2+\sqrt{2}sinθ）$，則xy=4+2$\sqrt{2}$sinθ+2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin$（θ+\frac{π}{4}）$=t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，可得xy=4+2$\sqrt{2}$t+t²-1，即可得出．

解答 解：（1）ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，即ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，
可得x²+y²-4x-4y+6=0，配方為：（x-2）²+（y-2）²=2．
可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)圓上的點$（2+\sqrt{2}cosθ，2+\sqrt{2}sinθ）$，
則xy=4+2$\sqrt{2}$sinθ+2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθcosθ，
令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin$（θ+\frac{π}{4}）$=t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
則t²=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
則xy=4+2$\sqrt{2}$t+t²-1=$（t+\sqrt{2}）^{2}$+1∈[1，9]．
∴xy的最大值最小值分別為1，9．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．