Question

在直角坐標系xOy中，設A點是曲線C₁：y=ax³+1（a＞0）與曲線的一個公共點，若C₁與C₂在A點處的切線互相垂直，則實數(shù)a的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設出兩曲線的交點A的坐標，代入兩曲線解析式，分別記作①和②，由曲線C₁的解析式，求出導函數(shù)，把點A的橫坐標代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為曲線C₁在A處的切線的斜率，進而表示出C₁在A處的切線方程，由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，得到求出的切線方程過曲線C₂的圓心（0，0），把圓心坐標代入切線方程得到一個關系式，記作③，聯(lián)立①②③，即可求出a的值．
解答：解：設點A的坐標為（x，y），代入兩曲線方程得：
y=ax³+1①，x²+y²=②，
由曲線C₁：y=ax³+1得：y′=3ax²，
則曲線C₁在A處的切線的斜率k=3ax²，
所以C₁在A處的切線方程為：y=3ax²（x-x）+y，
由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，
得到切線方程y=3ax²（x-x）+y過圓C₂的圓心（0，0），
則有3ax²（0-x）+y=0，即y=3ax³③，
把③代入①得：a=④，④代入③得：y=⑤，⑤代入②得：x=±，
當x=時，代入④得：a=4；當x=-時，代入④得：a=-4（由a＞0，不合題意，舍去）．
則實數(shù)a的值為4．
故答案為4．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，掌握圓切線垂直于過切點的直徑的性質(zhì)，是一道中檔題．