Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=5，S₅=35，設數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）由題意知

a1+d=5 5a1+10d=35

，解這個方程求出a₁，d，能夠得到a_n．
（2）由a_n=log₂b_n得到bn=2an=22n+1，

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，所以Tn=23+25++22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．
（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³，兩式相減得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³，由此能導出G_n．

解答：解：（1）由題意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得

a1=3 d=2

∴a_n=2n+1（5分）
（2）由a_n=log₂b_n得到bn=2an=22n+1，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=8，q=4，
∴Tn=23+25++22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．（10分）

（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹
∴4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³
兩式相減得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
即：-3G_n=24+（2⁶+2⁸+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•22n+3
=

8-(48n+8)4n

3

∴Gn=

(48n+8)4n-8

9

．（15分）

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．