Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為Sn=

3

2

n2+

7

2

n (n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_n=log₂b_n，請(qǐng)證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁，n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1，驗(yàn)證后合并可得a_n的通項(xiàng)公式；利用等差數(shù)列的定義證明即可．
（Ⅱ）利用數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_n=log₂b_n，求出它的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，利用求和公式求其前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得n=1，a₁=s₁=5，
 n≥2，a_n=s_n-s_n-1=（

3

2

n2+

7

2

n）-[

3

2

(n-1)2+

7

2

(n-1)]
=3n+2，
 n=1時(shí)滿(mǎn)足上式，所以a_n=3n+2．
因?yàn)閍_n+1-a_n=3（n+1）+2-3n-2=3．
所以{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_n=log₂b_n，
所以b_n=2³ⁿ⁺²，
因?yàn)?span id="jma3332" class="MathJye">

bn+1

bn

=

23n+5

23n+2

=8，
所以數(shù)列數(shù)列{b_n}是以b₁=32為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．
其前n項(xiàng)和為：

32(1-8n)

1-8

=

23n+5-32

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和，考查學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，是中檔題．