定義:對函數(shù)y=f(x),對給定的正整數(shù)k,若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),則稱函數(shù)f(x)為“k性質(zhì)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)數(shù)學公式是否為“k性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;
(2)若函數(shù)數(shù)學公式為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知函數(shù)y=2x與y=-x的圖象有公共點,求證:f(x)=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”.

(1)解:若存在x0滿足條件,則,….(2分)
∵△=k2-4k2=-3k2<0,∴方程無實數(shù)根,與假設矛盾.
不能為“k性質(zhì)函數(shù)”. ….(4分)
(2)解:由條件得:,….(5分)
(a>0),化簡得,….(7分)
當a=5時,x0=-1;….(8分)
當a≠5時,由△≥0,16a2-20(a-5)(a-1)≥0,即a2-30a+25≤0,∴
綜上,.….(10分)
(3)證明:由條件存在m使2m=-m,….(11分)
,

=,….(14分)
令x0=m+1,則∵2m=-m,∴=0
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=0
∴f(x0+1)=f(x0)+f(1),
∴f(x)=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”.….(16分)
分析:(1)利用新定義可得,從而可得△<0,方程無實數(shù)根;
(2)用新定義可得,對參數(shù)a討論,即可求實數(shù)a的取值范圍;
(3)由條件存在m使2m=-m,進而作差可得f(x0+1)=f(x0)+f(1),由此可得結(jié)論.
點評:本題考查新定義,考查學生的計算能力,解題的關(guān)鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:
.(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:
2
2

(2)請先學習下面的證明方法:
證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
3
2
是其“和諧數(shù)”.
證明過程如下:對任意x1∈[10,100],令
g(x1)+g(x2)
2
=
3
2
,即
lgx1+lgx2
2
=
3
2

x2=
1000
x1
.∵x1∈[10,100],∴x2=
1000
x1
∈[10,100]
.即對任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
1000
x1
∈[10,100]
,使得
g(x)+g(x2)
2
=
3
2
.∴g(x)=lgx為“和諧函數(shù)”,
3
2
是其“和諧數(shù)”.
參照上述證明過程證明:函數(shù)h(x)=2x,x∈(1,3)為“和諧函數(shù)”;
(3)寫出一個不是“和諧函數(shù)”的函數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2014•金山區(qū)一模)定義:對函數(shù)y=f(x),對給定的正整數(shù)k,若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),則稱函數(shù)f(x)為“k性質(zhì)函數(shù)”.
(1)若函數(shù)f(x)=2x為“1性質(zhì)函數(shù)”,求x0;
(2)判斷函數(shù)f(x)=
1
x
是否為“k性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;
(3)若函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:
 
.(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:
 
.(4分)
(2)證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
3
2
是其“和諧數(shù)”;
(3)判斷函數(shù)u(x)=x2,x∈R是否為和諧函數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•長寧區(qū)二模)定義:對函數(shù)y=f(x),對給定的正整數(shù)k,若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),則稱函數(shù)f(x)為“k性質(zhì)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=
1
x
是否為“k性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知函數(shù)y=2x與y=-x的圖象有公共點,求證:f(x)=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年上海市長寧區(qū)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

定義:對函數(shù)y=f(x),對給定的正整數(shù)k,若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x,使得f(x+k)=f(x)+f(k),則稱函數(shù)f(x)為“k性質(zhì)函數(shù)”.
(1)若函數(shù)f(x)=2x為“1性質(zhì)函數(shù)”,求x
(2)判斷函數(shù)是否為“k性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;
(3)若函數(shù)為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍.

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