Question

16．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0）關(guān)于直線y=$\frac{c}$x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．

解答 解：設(shè)Q（m，n），由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}=-\frac{c}①}\\{\frac{n}{2}=\frac{c}•\frac{m+c}{2}②}\\{\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1③}\end{array}\right.$，
由①②可得：m=$\frac{{c}^{3}-c^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，代入③可得：$\frac{（\frac{{c}^{3}-c^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱知識(shí)以及計(jì)算能力．