已知函數(shù).

(1)當時,證明:

(2)若對,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當時,證明:.

 

(1)詳見解析;(2);(3)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)將代入函數(shù)的解析式,構造新函數(shù),問題轉化為證明,只需利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用函數(shù)的單調性來證明該不等式;(2)解法一是利用參數(shù)分離法將不等式轉化為上恒成立,構造新函數(shù),問題轉化為

來處理;解法二是構造新函數(shù),問題轉化為來處理,求出導數(shù)的根,對與區(qū)間的相對位置進行分類討論,以確定函數(shù)的單調性與最值,從而解決題中的問題;解法三是利用參數(shù)分離法將問題轉化為,從而將問題轉化為來處理,而將視為點與點連線的斜率,然后利用圖象確定斜率的最小值,從而求解相應問題;(3)利用分析法將問題等價轉化為證明不等式,結合(1)中的結論

結合放縮法證明,最后利用累加法證明相關不等式證明.

試題解析:(1)證明:要證,即證

,則,

單調遞增,,

,即成立;

(2)解法一:由可得,

,

由(1)知

,函數(shù)上單調遞增,當時,,

解法二:令,則

時,,函數(shù)上是增函數(shù),有,------6分

時,函數(shù)上遞增,在上遞減,

,恒成立,只需,即

時,函數(shù)上遞減,對,恒成立,只需,

,不合題意,

綜上得對,恒成立,

解法三:由可得,

由于表示兩點的連線斜率,

由圖象可知單調遞減,

故當,

,即

(3)當時,,則

要證,即證,

由(1)可知,又

,

,

.

考點:1.利用導數(shù)證明函數(shù)不等式;2.參數(shù)分離法;3.直線的斜率;4.放縮法

 

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

 

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A. B. C. D.

 

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A. B. C. D.

 

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已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域和最小正周期;

(2)若,,求的值.

 

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,則.

 

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