設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc．
證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，
由排序原理：順序和≥反序和，得：
a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．
又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．
所以2（a3+b3+c3）≥6abc，
∴a3+b3+c3≥3abc．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a+b+4c=1，則
a
+
b
+
2c
的最大值是
10
2
10
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2+（c+
1
c
）2≥
100
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）與（-2，1）分別變換成點(diǎn)（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ=3上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c為正數(shù)且a+b+c=1，求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）（1）設(shè)x、y是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較2x2+y2與x2+xy的大�。�
（2）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2+b2+c2=1，求證：
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
-
2(a3+b3+c3)
abc
≥3．

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