Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

ax2(a∈R)，函數(shù)g（x）=3（x-1）²．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，分別求出f（x）和g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）討論方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，可得切線的向量，從而可求a的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定極值的大小，從而可得方程解的個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=3ax²-3ax…（1分）
∵函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直
∴f'（2）=-1，即12a-6a=-1，解得a=-

1

6

…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1）
∵a＞0，由f'（x）＞0可得x＜0或x＞1；由f'（x）＜0可得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）…（5分）
函數(shù)g（x）=3（x-1）²單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）…（6分）
（Ⅲ）令φ(x)=f(x)-g(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3，
則φ′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)．…（8分）
①若a=0，則φ（x）=-3（x-1）²，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解；
②若a＜0，則φ（x）的極大值為φ（1）=-

a

2

＞0，φ（x）的極，小值為φ（

2

a

）=-

4

a2

+

6

a

-3＜0
∴φ（x）的圖象與x軸有三個交點，即方程f（x）=g（x）有三個解；．…（10分）
③若0＜a＜2，則φ（x）的極大值為φ(1)=-

a

2

＜0，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，
即方程f（x）=g（x）只有一個解；    …（11分）
④若a=2，則φ'（x）=6（x-1）²≥0，φ（x）單調(diào)遞增，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，
即方程f（x）=g（x）只有一個解；    …（12分）
⑤若a＞2，由（2）知φ（x）的極大值為φ(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解；    …（13分）
綜上所述，若a≥0，方程f（x）=g（x）只有一個解；若a＜0方程f（x）=g（x）有三個解．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．