Question

20．函數(shù)f（x）=cos2x-cosx+1在$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的值域為$[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}+\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 利用余弦的倍角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵y=cos2x-2cosx+1
=2cos²x-2cosx
=2（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，x∈$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，cosx∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}]$
∴當(dāng)cosx=$\frac{1}{2}$時，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)cosx=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$時，y取得最大值$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$，
故-$\frac{1}{2}$≤y≤$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$，
即函數(shù)的值域為[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$]．
故答案為：$[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}+\sqrt{3}]$．

點評 本題主要考查函數(shù)的值域的計算，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，本題也可以使用換元法．