Question

已知點(diǎn)F（a，0）（a＞0），直線l：x=-a，點(diǎn)E是l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于y軸的直線與線段EF的垂直平分線交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（2）若曲線M上在x軸上方的一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B、C，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得|PF|=|PE|，從而有點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線．根據(jù)拋物線的定義可求
（2）直線AB的斜率為k（k≠0），點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．則直線AB的方程為y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．由y₁，2a是方程的兩個(gè)根，可求y1=

2a(2-k)

k

，同理可得y2=-

2a(2+k)

k

，代入斜率公式可求

解答：解：（1）連接PF．∵點(diǎn)P在線段EF的垂直平分線上，
∴|PF|=|PE|．∴點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線．
∴p=2a．∴點(diǎn)P的軌跡為M：y²=4ax（a＞0）．
（2）直線AB的斜率為k（k≠0），點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．
則直線AB的方程為y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．
△=16a²（k-1）²≥0
∵y₁，2a是方程的兩個(gè)根，
∴2ay1=

4a2(2-k)

k

．，∴y1=

2a(2-k)

k

．
依題意，直線AC的斜率為-k．
同理可得y2=-

2a(2+k)

k

．
∴y1+y2=

2a(2-k)

k

+

-2a(2+k)

k

=-4a．
∴kBC=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 4a - y 2 1 4a

=

4a

y1+y2

=-1
所以直線BC的斜率為定值．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義，解決（1）的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）主要考查了處理直線與拋物線的位置關(guān)系，處理的思路是聯(lián)立方程，通過方程進(jìn)行求解．