Question

2．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共24條，其中與體對(duì)角線AC₁垂直的有6條．

Answer 1

分析 連接AC，能推導(dǎo)出BD、A₁B，A₁D，B₁D₁，B₁D，C₁D都與AC₁垂直．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱中沒有與AC1垂直的棱，由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖，連接AC，則BD⊥AC．
在正方體ABCD-AA₁B₁C₁D₁中，
∵C₁C⊥平面BCD，
BD?平面BCD，
∴C₁C⊥BD，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
同樣A₁B，A₁D，B₁D₁，CD₁，B₁C都與AC₁垂直．
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱中沒有與AC₁垂直的棱，
故正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共24條，其中與體對(duì)角線AC₁垂直的有6條．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足垂直條件的直線的條數(shù)的求法，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．