Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E為PB的中點．
（Ⅰ）求異面直線PA與DE所成的角；
（Ⅱ）在底邊AD上是否存在一點F，使EF⊥平面PBC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點G，連結(jié)EG、DG，由EG∥PA，∠DEG為所求的角，由此能求出異面直線PA與DE所成角．（Ⅱ）存在點F為AD的中點，使EF⊥平面PBC．取PC的中點H，連結(jié)DH，EH，由已知條件推導出四邊形EFDH是平行四邊形，從而EF∥DH，由此得到EF⊥平面PBC．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中點G，連結(jié)EG、DG，∵E是PB的中點，
∴EG∥PA，∴∠DEG為所求的角，
由已知得BD=2

2

，PD=2，則PB=2

3

，
∴DE=

1

2

PB=

3

，
又EG=

1

2

PA=

2

，DG=

AD2+AG2

=

5

，
∴DG²=DE²+EG²，∴∠DEG=90°，
∴異面直線PA與DE所成角為90°．
（Ⅱ）存在點F為AD的中點，使EF⊥平面PBC．
證明如下：
取PC的中點H，連結(jié)DH，EH，
∵PD=CD，∴DH⊥PC，①
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥BC，
∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DH．②
結(jié)合①②知DH⊥平面PBC，
∵E，F(xiàn)分別是PB、AD的中點，
∴FD

∥

.

1

2

BC，EH

∥

.

1

2

BC，∴FD

∥

.

EH，
∴四邊形EFDH是平行四邊形，∴EF∥DH，
∴EF⊥平面PBC．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面垂直的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．