Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）依次令n=1，2，3即可計(jì)算出a₂，a₃，a₄；
（2）先驗(yàn)證n=1猜想成立，假設(shè)n=k猜想成立，代入遞推公式得出n=k+1猜想成立，結(jié)論得證．

解答 解：（1）a₂=a₁²-a₁+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=5．
（2）猜想：a_n=n+1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立，
假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即a_k=k+1，
則a_k+1=a_k²-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．
∴a_n=n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查來(lái)了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．