Question

【題目】已知，，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，且，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，記，分別為函數(shù)的最大值和最小值.

（1）試判斷在上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義或利用導(dǎo)數(shù)判斷在上的單調(diào)性；

（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，求出.由是奇函數(shù)，可得，即求.

（1）解法一：對(duì)于，，設(shè)

則，

，

因?yàn)?/span>，，所以，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即，又，

所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

解法二：設(shè)，，

因?yàn)?/span>，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以，

所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，

所以，，

所以，

因?yàn)?/span>，為方程的兩個(gè)實(shí)根，

所以，，

所以，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以對(duì)任意都成立，

即恒成立，

，所以，

即，

所以，即.