Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求幾何體D-ABC的體積．

Answer 1

（Ⅰ）
【解法一】：在圖1中，由題意知，AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【解法二】：在圖1中，由題意，得AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?面ABC，∴BC⊥平面ACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC為三棱錐B-ACD的高，且BC=2

2

，S_△ACD=

1

2

×2×2=2，
所以三棱錐B-ACD的體積為：VB-ACD=

1

3

Sh=

1

3

×2×2

2

=

4 2

3

，
由等積性知幾何體D-ABC的體積為：

4 2

3

．