Question

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點的距離相等？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可證得△ADC（即△PDC）是等邊三角形⇒H是AC的中點，從而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)過H作AC的垂線，以H為坐標原點建立空間直角坐標系，繼而可求得A，P，B，E的坐標，設(shè)平面PHB的法向量

n

=（x，y，z），由

HB • n =0 HP • n =0

可求得

3 x+y=0 z=0

，通過對x賦值，可求得

n

=（

3

，-3，0），利用向量的數(shù)量積即可求得cos＜

n

，

HE

＞，即HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=

1

2

PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=

1

2

PB=2，從而可知E為M即可．

解答：解：（Ⅰ）∵點P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，
所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
∴AC=4，∠CAB=60°，
∴△ADC是等邊三角形，故H是AC的中點，…2分
∴HE∥PC…3分
同理可證EF∥PB，
又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
∴平面EFH∥平面PBC；…5分
（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)過H作AC的垂線，如圖建立空間直角坐標系，則A（0，-2，0），P（0，0，2

3

），B（

3

，1，0）…6分
因為E（0，-1，

3

），

HE

=（0，-1，

3

），設(shè)平面PHB的法向量

n

=（x，y，z），
∵

HB

=（

3

，1，0），

HP

=（0，0，2

3

），
∴

HB • n =0 HP • n =0

，即

3 x+y=0 z=0

，
令x=

3

，則y=-3，
∴

n

=（

3

，-3，0）…8分
cos＜

n

，

HE

＞=

n • HE

| n |•| HE |

=

3

2×2 3

=

3

4

…10分
∴直線HE與平面PHB所成角的正弦值為

3

4

…11分
（Ⅲ）存在，事實上記點E為M即可…12分
因為在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=

1

2

PA=2…13分
在直角三角形PHB中，PB=4，EF=

1

2

PB=2，
所以點E到P，H，A，F(xiàn)四點的距離相等…14分

點評：本題考查平面與平面平行的判定，考查直線與平面所成的角，考查點、線、面間的距離計算，突出考查空間向量在空間幾何中的應(yīng)用，考查邏輯推理與證明的能力，屬于難題．