Question

19．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前三項和為12，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（ I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（ II）設(shè)${b_n}={2^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列通項公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）由${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$，得到數(shù)列{b_n}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 本小題滿分13分）
解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d．
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=12\\{a_4}^2={a_2}{a_8}.\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\{d^2}-{a_1}d=0.\end{array}\right.$
由d≠0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=2.\end{array}\right.$
所以a_n=2n．…（7分）
（II）所以${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$．
因為$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{4^{n+1}}}}{4^n}=4，{b_1}=4$，
所以數(shù)列{b_n}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列．
所以${S_n}=\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）$．…（13分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．