Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA=AB=AD=1．
（Ⅰ）請你在下面四個選項中選擇2個作為條件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并證明．
①PB=PD=；       ②四邊形ABCD是正方形；
③PA⊥平面ABCD；    ④平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在（Ⅰ）選擇的條件下，在四棱錐P-ABCD的表面上任取一個點，求這個點在四棱錐P-ABCD側(cè)面內(nèi)的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可選擇①②作為條件．由勾股定理證明PA⊥AD，PA⊥AB，從而證明 PA⊥平面ABCD，由正方形的性質(zhì)得AD⊥CD，故有CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）先求出四棱錐的4個側(cè)面的面積之和，再求出底面的面積，用側(cè)面的面積之和除以全面積（側(cè)面積的和加上底面面積），即得這個點在四棱錐P-ABCD側(cè)面內(nèi)的概率．
解答：解：（Ⅰ）選擇①②作為條件．（1分）
證明如下：∵PA=AD=1，PD=，∴PD²=PA²+AD² ，∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，
同理，可證PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD（4分）
∴CD⊥平面PAD（5分），又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．（6分）
（Ⅱ）因為（Ⅰ）中已經(jīng)證明CD⊥平面PAD，同理有BC⊥面PAB，
S_△PAB=S_△PAD=×PA×AD=×1×1=，S_△PCB=S_△PCD=×PD×CD=××1=，
S_ABCD =AB² =1（10分）∴在四棱錐P-ABCD的表面上任取一個點，
這個點在四棱錐P-ABCD側(cè)面內(nèi)的概率是
=．（12分）
點評：本題考查證明兩個平面垂直的方法及面面垂直的性質(zhì)，棱錐的側(cè)面積與全面積的求法，以及幾何概型．