Question

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn).   

（1）      設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE//平面FCC；

（2）      證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

 

Answer 1

證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091203/20091203093923003.gif' width=45 height=24>平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

（2）連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，AB=4, BC=2,

 F是棱AB的中點(diǎn),所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

,△ACF為等腰三角形，且

所以AC⊥BC,  又因?yàn)锽C與CC₁都在平面BB₁C₁C內(nèi)且交于點(diǎn)C,                          

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

【命題立意】: 本題主要考查直棱柱的概念、線面平行和線面垂直位置關(guān)系的判定.熟練掌握平行和垂直的判定定理.完成線線、線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.