(2011•惠州二模)已知向量,
a
=(m,1),
b
=(sinx,cosx),f(x)=
a
b
且滿足f(
π
2
)=1.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;并求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和最值及其對應(yīng)的x值;
(2)銳角△ABC中,若f(
π
12
)=
2
sinA,且AB=2,AC=3,求BC的長.
分析:(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式,得f(x)=msinx+cosx,從而由f(
π
2
)=1
解出m=1.因此f(x)=sinx+cosx,化簡得f(x)=
2
sin(x+
π
4
)
,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可得到函數(shù)的最小正周期和最值及其對應(yīng)的x值;
(2)由(1)中的表達式,根據(jù)f(
π
12
)=
2
sinA
及△ABC是銳角三角形解出A=
π
3
,再利用余弦定理即可解出BC的長.
解答:解:(1)∵
a
=(m,1)
,
b
=(sinx,cosx)
,
∴f(x)=
a
b
=msinx+cosx,
又∵f(
π
2
)=1
,∴msin
π
2
+cos
π
2
=1
解之得m=1.…(2分)
f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
.…(4分)
可得函數(shù)的最小正周期T=2π.…(5分)
當(dāng)x=
π
4
+2kπ(k∈Z)
時,f(x)的最大值為
2
;當(dāng)x=
4
+2kπ(k∈Z)
時,f(x)最小值為-
2
….(7分)
(2)∵f(
π
12
)=
2
sinA
,可得f(
π
12
)=
2
sin
π
3
=
2
sinA

sinA=sin
π
3
.…(8分)
∵A是銳角△ABC的內(nèi)角,∴A=
π
3
.…(9分)
∵AB=2,AC=3
∴由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2•AB•ACcosA=7.…(10分)
解之得BC=
7
(舍負).…(12分)
點評:本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)形式,求函數(shù)f(x)=
a
b
的表達式,并依此求解三角形ABC的邊BC長,著重考查了向量數(shù)量積公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和余弦定理等知識,屬于中檔題.
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OP
=(1-t)
OQ
+t
OR
.如圖,在△ABC中,點E為AB邊的中點,點F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點M,設(shè)
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=x
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+y
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