Question

已知A（1，0），B（0，1），C（3，4）
（1）求△ABC外接圓的方程
（2）以（3，1）為中點(diǎn)的弦EF所在的直線l交坐標(biāo)軸于M，N，求△OMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A（1，0），B（0，1），C（3，4）代入，能求出△ABC外接圓的方程．
（2）△ABC外接圓的圓心為P（2，2），設(shè)弦EF中點(diǎn)Q（3，1），所以PQ⊥EF，由此能求出△OMN的面積．

解答： 解：（1）設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
已知A（1，0），B（0，1），C（3，4）
∴

1+D+F=0 1+E+F=0 9+16+3D+4E+F=0

，
解得D=-4，E=-4，F(xiàn)=3，
∴△ABC外接圓的方程為x²+y²-4x-4y+3=0，
即（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）△ABC外接圓的圓心為P（2，2），設(shè)弦EF中點(diǎn)Q（3，1），
所以PQ⊥EF，
∵k_PQ=

2-1

2-3

=-1，∴kEF=

1

kPQ

=1，
∴直線EF的方程為y-1=x-3，即x-y-2=0，
∵直線EF與坐標(biāo)軸交于M，N兩點(diǎn)，
∴M（0，-2），N（2，0），如圖，
△OMN的面積為

1

2

|OM||ON|=

1

2

×2×2=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查三角形的面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．