【題目】已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F.過F的直線與拋物線C交于A、B，與拋物線C的準線交于M.

（1）若|AF|=|FM|=4，求常數(shù)p的值；

（2）設拋物線C在點A、B處的切線相交于N，求動點N的軌跡方程.

【答案】（1）2；（2）y.

【解析】

（1）設交點F（0,）,則準線方程為y,根據(jù)F為AM的中點可得y12p,即可求得；

（2）由可得,即可求得切線斜率,聯(lián)立拋物線與直線AB,根據(jù)韋達定理可得x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,利用點斜式直線方程可得在點的切線方程,聯(lián)立即可求得點,即可得到點的軌跡方程.

（1）由拋物線的方程可得焦點坐標F（0,）,準線方程為y,

設A（x1,y1）,B（x2,y2）,

因為|AF|=|FM|=4,所以F為AM的中點,所以y12p,

所以2p=4,解得p=2

（2）由y,所以,設直線AB:y=kx,

與拋物線C的方程聯(lián)立得:x2﹣2pkx﹣p2=0,則=4p2k2+4p2＞0,

所以x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,

則在點A處的切線方程為:y﹣y1（x﹣x1）,即py+py1=x1x,

同理可得B處的切線方程py+py2=x2x,

聯(lián)立,解得xNpk,yN,

所以N的軌跡方程為y,

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】里氏震級M的計算公式為：M=lgA﹣lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，是相應的標準地震的振幅，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅A0為0.001，則此次地震的震級為 級；9級地震的最大的振幅是5級地震最大振幅的 倍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向左平移個單位長度.

（1）寫出函數(shù)的解析式和其圖象的對稱中心坐標.

（2）已知關于的方程在上有兩個不同的解，，求實數(shù)的取值范圍和的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=4x與橢圓E：1（a＞b＞0）有一個公共焦點F.設拋物線C與橢圓E在第一象限的交點為M.滿足|MF|.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點P（1，）的直線交拋物線C于A、B兩點，直線PO交橢圓E于另一點Q.若P為AB的中點，求△QAB的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)若a>0，設是函數(shù)圖象上的任意兩點，記直線AB的斜率為k，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱中，平面，，，，，為棱的中點

（1）證明：；

（2）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年，隨著中國第一款5G手機投入市場，5G技術已經(jīng)進入高速發(fā)展階段.已知某5G手機生產(chǎn)廠家通過數(shù)據(jù)分析，得到如下規(guī)律：每生產(chǎn)手機萬臺，其總成本為，其中固定成本為800萬元，并且每生產(chǎn)1萬臺的生產(chǎn)成本為1000萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入萬元滿足

（1）將利潤表示為產(chǎn)量萬臺的函數(shù)；

（2）當產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案