【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a>0,設(shè)是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn),記直線AB的斜率為k,求證:.
【答案】(1)(i)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.
(ii)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為.
(iii)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.
(2)見解析.
【解析】
試題(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意到函數(shù)的定義域是;不等式,故只需按的正,負(fù)和零分別討論,在討論的過程中當(dāng)的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)先求得,再將直線AB的斜率為用表示出來得到,然后用比差法求得注意到,故欲證,只須證明:因?yàn)?/span>,故即證:,
令,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)證明在上是增函數(shù),從而可得,進(jìn)而得所證不等式成立.
試題解析:(1)解:1分
(i)當(dāng)時,恒成立,即恒成立,
故函數(shù)的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間. 2分
(ii)當(dāng)時,,
解得:
∵,∴函數(shù)的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為. 4分
(iii)當(dāng)時,由解得:.
∵,而此時,∴函數(shù)的單增區(qū)間為,
單減區(qū)間為. 6分
綜上所述:
(i)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.
(ii)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為.
(iii)當(dāng)時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為. 7分
(2)證明:
由題,
則:
9分
注意到,故欲證,只須證明:. 10分
因?yàn)?/span>,故即證:
11分
令,12分
則:故在上單調(diào)遞增.
所以:13分
即:,即:所以:. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的左右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F,一條準(zhǔn)線方程是,短軸一端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,點(diǎn)P、Q為橢圓C上異于A、B的兩點(diǎn),點(diǎn)R為PQ的中點(diǎn)
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
直線PB交直線于點(diǎn)M,記直線PA的斜率為,直線FM的斜率為,求證:為定值;
若,求直線AR的斜率的取值范圍.
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【題目】數(shù)學(xué)的對稱美在中國傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn),譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠?qū)A的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”,下列說法正確的是( )
A.對于任意一個圓,其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個
B.可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
C.正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
D.函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
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【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F.過F的直線與拋物線C交于A、B,與拋物線C的準(zhǔn)線交于M.
(1)若|AF|=|FM|=4,求常數(shù)p的值;
(2)設(shè)拋物線C在點(diǎn)A、B處的切線相交于N,求動點(diǎn)N的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是,左右頂點(diǎn)是,離心率是,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn)),且的周長是,
直線與交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓的方程;
(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上;
(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn),且PN平行于x軸,證明:是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵如果對于任意的,總成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若是的極大值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)向量,,若k–與+3平行,求實(shí)數(shù) 的值.
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