Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

由題意得：f'（x）=（e^x）'•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-

2

a

)(x+2)；（3分）
（1）由曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，
結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=0，
即a•e2•(2-

2

a

)(2+2)=4ae2•

2a-2

a

=0，
解得a=1；（6分）
（2）設(shè)|sinx|=t（0≤t≤1），
則只需求當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（t）（0≤t≤1）的最小值．
令f'（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2，而a＞0，即

2

a

＞-2．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(-2，

2

a

)上單調(diào)遞減．
當(dāng)

2

a

≥1時(shí)，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，y_min=f（1）=（a-4）e；
當(dāng)0＜

2

a

＜1，即 a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值，
即為其在區(qū)間[0，1]上的最小值，ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
綜上可知，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為（a-4）e；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為-2e

2

a

．（12分）