Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n=

(n-2)3 n3 an-2(n=2k+1，k∈N+) 2an-2+1(n=2k，k≥2，k∈N+)

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）用列舉方法，遞推可得到答案．
（2）求出前n 項和，分類討論，放縮求解．

解答： 解（1）：數(shù)列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n=

(n-2)3 n3 an-2(n=2k+1，k∈N+) 2an-2+1(n=2k，k≥2，k∈N+)

，
a₃=

1

33

，a₄=2²-1，a₅=

1

53

，a₆=2³-1，a₇=

1

73

，a₈=2⁴-1
{a_n}的通項公式為a_n=

1 n3 ，n為奇數(shù) 2 n 2 -1，n為偶數(shù)

（2）當n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₃+a₅+a₇+…+a_n-1）+（a₂+a₄+a₆+a₈+…+a_n）
=（1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

）+（2-1+2²-1+2³-1+…+2 

n

2

-1）
=（1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

）+（2 

n

2

+1-

n

2

-2）
要證S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

．只需證1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

13

8

，
即

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

5

8

即

1

33

＜

1

4×5

，

1

53

＜

1

5×6

，

1

73

＜

1

6×7

，

1

(n-1)3

＜

1

(n-1)n

裂項再相加得即

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n

=

1

4

-

1

n

＜

1

4

＜

5

8

不等式S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

成立

點評：本題綜合考查了數(shù)列中思想方法，代數(shù)式的變換能力．