Question

5．已知函數(shù)y=-3x²+2ax-1，x∈[0，1]，記f（a）為其最小值，求f（a）的表達(dá)式，并求f（a）的最大值．．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出f（a）的表達(dá)式，從而求出f（a）的最大值即可．

解答 解：f（x）=-3x²+2ax-1=-3（x-$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$-1
對稱軸x=$\frac{a}{3}$，對a的取值分類討論：
①當(dāng)$\frac{a}{3}$≤0，即a≤0時：
f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最小值f（a）=f（1）=-3+2a-1=2a-4≤-4，
②0＜$\frac{a}{3}$≤$\frac{1}{2}$即0＜a≤$\frac{3}{2}$時：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）遞增，在（$\frac{a}{3}$，1]遞減，
∴f（a）=f（1）=-3+2a-1=2a-4≤-4，
③$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{3}$≤1即$\frac{3}{2}$＜a≤3時：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）遞增，在（$\frac{a}{3}$，1]遞減，
∴f（a）=f（0）=-1，
④$\frac{a}{3}$＞3即a＞9時：
f（x）在[0，1]遞增，
∴f（a）=f（0）=-1，
綜上f（a）的最大值是-1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．