Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，可得b²=a²-c²，即可得出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為：x$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)S_△AOB═$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m．由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化為：4m²=3（1+k²）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$化為：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}+1}$利用基本不等式求解．

解答 解：（1）由題意可得：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，
可得橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為：x$±\frac{\sqrt{3}}{2}$代入橢圓方程可得y$±\frac{\sqrt{3}}{2}$此時(shí)S_△AOB═$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m．
由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化為：4m²=3（1+k²）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$化為：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
△＞0化為：1+3k²＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}+1}$
當(dāng)k=0時(shí)，∴S_△AOB=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)k²＞0時(shí)，S_△AOB=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}+1}$
∵$9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}≥6$，當(dāng)且僅當(dāng)k═$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，△AOB面積的最大值S_△AOB）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
綜上可得：△AOB面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 題考查了=圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．