Question

7．如圖，設直線l：y=k（x+$\frac{p}{2}$）與拋物線C：y²=2px（p＞0，p為常數）交于不同的兩點M，N，且當k=$\frac{1}{2}$時，弦MN的長為4$\sqrt{15}$．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過點M的直線交拋物線于另一點Q，且直線MQ過點B（1，-1），求證：直線NQ過定點．

Answer 1

分析 （1）根據弦長公式即可求出答案；
（2）由（1）可知MN的方程為直線l：y=k（x+1），代入拋物線的方程，可得ky²-4y+4k=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），則y₁y₂=4，直線MB的方程為y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，（x-1），可得y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，直線QN的方程為y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，即可得出直線QN過定點．

解答 解：（1）當k=$\frac{1}{2}$時，聯立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{p}{4}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消y可得4x²+28px+p²=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=49p²-p²=48p²，
∵弦MN的長為4$\sqrt{15}$．
∴|MN|²=（1+$\frac{1}{4}$）（x₁-x₂）²=$\frac{5}{4}$×48p²=16×15，
即p²=4，即p=2，
∴y²=4x；
（2）：由（1）可知MN的方程為直線l：y=k（x+1）代入拋物線的方程，可得ky²-4y+4k=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），則y₁y₂=4，
由k_MQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{3}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，
直線MB的方程為y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），
∴y₁+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x₁-1），
可得y₁=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴$\frac{4}{{y}_{2}}$=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，
直線QN的方程為y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），
可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，
∴x=1，y=-4，
∴直線QN過定點（1，-4）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．