已知橢圓：的長軸長為4，且過點．

（１）求橢圓的方程；

（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標(biāo)分別為、，求證：．

 

【答案】

（1）；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用平面向量的坐標(biāo)運算和待定系數(shù)法可得線段的中點的軌跡是以，為焦點的橢圓，有橢圓的定義最終可得．

試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　     ２分

解得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　             ４分

橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　            ５分

（２）設(shè)，則，．   6分

由,

得,即．     ７分

是橢圓上一點，所以

，　　　　　　　　　　　       ８分

即

得，故．     ９分

又線段的中點的坐標(biāo)為，　　　　　　　      10分

， 11分

線段的中點在橢圓上．　         12分

橢圓的兩焦點恰為， 　　        13分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           14分

考點：1、橢圓的定義、方程；2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問題．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•豐臺區(qū)二模）已知橢圓C的長軸長為2
2
，一個焦點的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓的右頂點．
①若直線l斜率k=1，求△ABP的面積；
②若直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河北冀州中學(xué)高二年級下學(xué)期第三次月考題（理） 題型：解答題

已知橢圓C:的長軸長為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過點B（2，0）的直線（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），且OBE與OBF的面積之比為， 求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省高三最后壓軸卷理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:的長軸長為，離心率．

Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

Ⅱ）若過點B（2，0）的直線（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），且OBE與OBF的面積之比為，求直線的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆福建省四地六校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的長軸長為，一個焦點的坐標(biāo)為(1,0)．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓的右頂點．

（�。┤糁本�l斜率k=1，求△ABP的面積；

（ⅱ）若直線AP，BP的斜率分別為，，求證：為定值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆河北冀州中學(xué)高二年級下學(xué)期第三次月考題（理） 題型：解答題

已知橢圓C:的長軸長為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若過點B（2，0）的直線（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），且OBE與OBF的面積之比為， 求直線的方程．

 

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