Question

8．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a₂=3，前n項和為S_n，且S_n+1，S_n，S_n-1（n＞1）分布是直線l上的點A，B，C的橫坐標(biāo)，$\overrightarrow{AB}=\frac{{2{a_n}+1}}{a_n}\overrightarrow{BC}$，設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)${C_n}=\frac{{{4^{\frac{{{b_{n+1}}-1}}{n+1}}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，證明：C₁+C₂+C₃+…+C_n＜1．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線的坐標(biāo)表示和構(gòu)造等比數(shù)列的思想，由等比數(shù)列的通項公式，即可得到；
（2）求出b_n的通項，以及c_n，并拆成差的形式，再由裂項相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）由題意得A，B，C三點共線，
則$\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{S_n}-{S_{n-1}}}}=\frac{{2{a_n}+1}}{a_n}$，故a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
所以數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
則${a_n}+1={2^n}$，所以${a_n}={2^n}-1（{n∈{N^*}}）$；
（2）證明：由${a_n}={2^n}-1$及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，
知b_n+1=b_n+n，∴${b_n}=1+\frac{{n（{n-1}）}}{2}$，
則${C_n}=\frac{{{4^{\frac{{{b_{n+1}}-1}}{n+1}}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{{（{{2^n}-1}）（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以$\sum_{i=1}^n{{C_i}=（{\frac{1}{2-1}-\frac{2}{{{2^2}-1}}}）+（{\frac{1}{{{2^2}-1}}-\frac{1}{{{2^3}-1}}}）+…+（{\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}}）}$
=$1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}＜1$．

點評 本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的裂項相消求和以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．