Question

18．關(guān)于x的方程lg（ax）lg（ax²）=4有兩個都大于1的不相等的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算法則進行化簡，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進行求解即可．

解答 解：要使對數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{ax＞0}\\{a{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
則a＞0，且x＞0，
由lg（ax）lg（ax²）=4得（lga+lgx）（lga+lgx²）=4，
即（lga+lgx）（lga+2lgx）=4，
即lg²a+2lgxlga+lgxlga+2lg²x=4，
即2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0，
∵方程lg（ax）lg（ax²）=4有兩個大于1的解，
∴設(shè)t=lgx，則x＞1，
∴t＞0，
即方程2t²+3lgat+lg²a-4=0有兩個正根，
設(shè)f（t）=2t²+3lgat+lg²a-4，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△=9l{g}^{2}a-4（l{g}^{2}a-4）≥0}\\{f（0）=l{g}^{2}a-4＞0}\\{-\frac{3lga}{2×2}＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{5l{g}^{2}a+16≥0}\\{lga＞2或lga＜-2}\\{lga＜0}\end{array}\right.$，
即lga＜-2=lg$\frac{1}{100}$，
解得0＜a＜$\frac{1}{100}$，
故a的取值范圍為（0，$\frac{1}{100}$）．

點評 本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合換元法利用一元二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．