Question

已知曲線f（x）=（x＞0）上有一點(diǎn)列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），點(diǎn)P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2+1（n∈N*），x₁=1．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積是S_n，求證：＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x_n=2x_n-1+1，從而有x_n+1=2（x_n-1+1），故可得{x_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先將四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積表示為：，再表示，進(jìn)而利用放縮法可證．
解答：解：（1）由x_n=2x_n-1+1得x_n+1=2（x_n-1+1），∵x₁=1∴x_n+1≠0，
故{x_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，∴x_n=2ⁿ-1．（6分）
（2）∵，∴Q_nQ_n+1=2ⁿ，而P_nQ_n=，（9分）
∴四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積為：，∴，
故＜．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，從而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查放縮法證明不等式，屬于中檔題．