已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設為數(shù)列{}的前n項和，求；

（3）設，證明：.

 

(1) (2) （3）見解析

【解析】

試題分析：

(1)當帶入式子結合即可得到的值,當時,利用與的關系()即可得到是一個常數(shù),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列,但是需要驗證是否符合,進而證明為等差數(shù)列,即可求的通項公式.

(2)把(1)中得到的的通項公式帶入可得,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯位相減法來求的前n項和.

(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項公式為分式,為求其前n項和可以考慮利用裂項求和法.進行裂項,在進行求和就可以得到的前n項和為,利用非負即可證明原不等式.

試題解析：

（1）由題意，當時，有， （1分）

兩式相減得 即. （2分）

由，得.

所以對一切正整數(shù)n，有， （3分）

故，即. （4分）

（2）由（1），得，

所以 ① （5分）

①兩邊同乘以，得 ② （6分）

①-②，得， （7分）

所以， （8分）

故. （9分）

（3）由（1），得 （12分）

（13分）

. （14分）

考點：裂項求和 錯位相減 不等式

 

練習冊系列答案
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（1）若S={1，2}，求m(T)；

（2）若S＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥2），求m(T)．

 

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A． B． C． D．

 

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