Question

4．若不等式x²+ax+2≥0對(duì)一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立，則a的最小值為（　�。�

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． -2
• C． -$\frac{5}{2}$
• D． -3

Answer 1

分析 命題等價(jià)于a≥-x-$\frac{2}{x}$對(duì)于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]成立；設(shè)y=-x-$\frac{2}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$]，利用導(dǎo)數(shù)判斷y在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，求得y的最大值，從而得出a的最小值．

解答 解：不等式x²+ax+2≥0對(duì)一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立，
等價(jià)于a≥-x-$\frac{2}{x}$對(duì)于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]成立；
設(shè)y=-x-$\frac{2}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∵y′=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
∴y在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，
∴y=-x-$\frac{2}{x}$≤-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=-$\frac{9}{2}$，
∴a≥-$\frac{9}{2}$；
∴a的最小值為-$\frac{9}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．