Question

14．（1）求復(fù)數(shù)z=1+cosα+isinα（π＜α＜2π）的模．
（2）如（m+n）-（m²-3m）i＞-1，試求自然數(shù)m，n．

Answer 1

分析 （1）化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，利用復(fù)數(shù)的模的元素直接求解即可．
（2）由（m+n）-（m²-3m）i＞-1，得$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞-1，①}\\{-（{m}^{2}-3m）=0，②}\end{array}\right.$，求解即可得答案．

解答 解：（1）|z|=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{2+2cosα}$=$\sqrt{2+4cos\frac{α}{2}-2}$=$\sqrt{4cos\frac{α}{2}}$=|2cos$\frac{α}{2}$|，
∵π＜α＜2π，∴$\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜π$，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴|z|=-2cos$\frac{α}{2}$．
（2）由（m+n）-（m²-3m）i＞-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞-1，①}\\{-（{m}^{2}-3m）=0，②}\end{array}\right.$，解②得m=0或m=3．
當(dāng)m=0時(shí)，n＞-1，n為大于等于0的所有自然數(shù)；
當(dāng)m=3時(shí)，n＞-4，n為大于等于0的所有自然數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，利用三角公式及角的范圍、三角函數(shù)的符號(hào)來求復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題．