Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁、x₂滿(mǎn)足關(guān)系：f(x₁＋x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)＋2

(1)求f(0)的值；

(2)證明：f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；

(3)若x＞0，則有f(x)＞－2，求證：f(x)在R上是增函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在關(guān)系式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2中令，x1＝x2＝0得f(0)＝－2　　2分 　　(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)y＝f(x)上的任一點(diǎn)，即y0＝f(x0)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)　　3分 　　下面證明，下面證明點(diǎn)在曲線(xiàn)y＝f(x)上 　　再令x1＝x0，x2＝－x0 　　∴f(x0－x0)＝f(0)＝f(x0)＋f(－x0)＋2 　　∴f(－x0)＝－4－f(x0)＝－4－y0　　6分 　　∴(－x0，－4－y0)在曲線(xiàn)y＝f(x)上 　　∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)成中心對(duì)稱(chēng)圖形　　7分 　　(2)設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0， 　　∴f(x2－x1)＞－2　　8分 　　∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＋2＝f(x2)－4－f(x1)＋2＞－2　　11分 　　∴f(x2)－f(x1)＞0　即f(x2)＞f(x1) 　　∴f(x)在R上是增函數(shù)　　12分