Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且a₁，d∈N^*．若設(shè)M₁是從a₁開始的前t₁項數(shù)列的和，即M₁=a₁+…+a t 1（1≤t₁，t₁∈N^*），M₂=at₁₊₁+at₁₊₂+…+at₂（1＜t₂∈N^*），如此下去，其中數(shù)列{M_i}是從第t_i-1+1（t₀=0）開始到第t_i（1＜t_i）項為止的數(shù)列的和，即M_i=at_i-1+1+…+at_i（1≤t_i，t_i∈N^*）．
（1）若數(shù)列a_n=n（1≤n≤13，n∈N^*），試找出一組滿足條件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）試證明對于數(shù)列a_n=n（n∈N^*），一定可通過適當?shù)膭澐郑�使所得的�?shù)列{M_n}中的各數(shù)都為平方數(shù)；
（3）若等差數(shù)列{a_n}中a₁=1，d=2．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列{t_n}，（1≤t₁＜t₂＜t₃＜…＜t_n），n∈N^*，使得{M_n}為等比數(shù)列，如存在，就求出數(shù)列{M_n}；如不存在，則說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）利用定義，可以找出一組滿足條件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）先證明第二段可取3個數(shù)，t₂=1+3=4；再證明第三段可取9個數(shù)，即t3=1+3+32=13，…，由此即可得出結(jié)論；
（3）利用反證法進行證明即可．

解答： （1）解：由題意，M₁=1，M₂=2+3+4=9，M₃=5+6+…+13=81；…（4分）
（2）證明：記t₁=1，即M₁=1，又由2+3+4=9=3²，M2=32，
∴第二段可取3個數(shù)，t₂=1+3=4；
再由5+6+…+13=81=3⁴，即M3=34，
因此第三段可取9個數(shù)，即t3=1+3+32=13，…，
依次下去，一般地：tn=1+3+…+3n-1=

3n-1

2

，tn+1=

3n+1-1

2

…（6分）
∴Stn=1+2+3+…+

3n-1

2

=

( 3n-1 2 )(1+ 3n-1 2 )

2

，…（8分）
Stn+1=1+2+3+…+

3n+1-1

2

=

( 3n+1-1 2 )(1+ 3n+1-1 2 )

2

…（9分）
則Mn+1=Stn+1-Stn=

( 3n+1-1 2 )(1+ 3n+1-1 2 )

2

-

( 3n-1 2 )(1+ 3n-1 2 )

2

=32n．由此得證．…（11分）
（3）解：不存在．令Stn=tna1+

tn(tn-1)

2

d=

t

2 n

，則Mn=

t

2 n

-

t

2 n-1

假設(shè)存在符合題意的等差數(shù)列，則{M_n}的公比必為大于1的整數(shù)，
（∵Mn≥

t

2 n

-(tn-1)2=2tn-1∴Mn→+∞，因此q＞1），
即Mn=M1qn-1∈N*
此時，注意到，

t

2 3

=M3+M2+M1=M1(1+q+q2)=

t

2 1

(1+q+q2)…（14分）
要使

t

2 3

=

t

2 1

(1+q+q2)成立，則1+q+q²必為完全平方數(shù)，…（16分）
但q²＜1+q+q²＜（q+1）²，矛盾．
因此不存在符合題意的等差數(shù)列{M_n}．…（18分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查新定義，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，有難度．