Question

（本小題滿分14分）

如圖8，在直角梯形中，，，且．

現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面

與平面互相垂直，如圖9．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．

 

Answer 1

（本小題滿分14分）

證明（1）（法一）因?yàn)槠矫?sub>平面，

且平面平面，

又在正方形中，，

所以，平面．  ………………2分

而平面，

所以，．         ………………3分

在直角梯形中，,，

，

所以，，

所以，．          ………………4分

又，平面，，

所以，平面．     ………………6分

而平面，

所以，平面平面． ……………7分

（法二）同法一，得平面．               …………………………2分

以為原點(diǎn)，，，分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，．      …………………………3分

所以，， ，,

，，

所以，，．                      …………………………………5分

又，不共線，，平面，

所以，平面．                            …………………………6分

而平面，

所以，平面平面．                      …………………………7分

解 （2）（法一）因?yàn)?sub>，平面，平面，

所以，平面．                          …………………………9分

因?yàn)槠矫?sub>與平面有公共點(diǎn)，

所以可設(shè)平面平面，．

因?yàn)?sub>平面，平面，平面平面，

所以．                                     ………………………10分

從而，，

又，且，，所以為中點(diǎn)，也為正方形．  12分

易知平面，所以，．

所以，是平面與平面所成銳二面角的平面角，

而，

所以平面與平面所成銳二面角為．      …………………………14分

（法二）由（1）知，平面的一個(gè)法向量是．  ………………9分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?sub>，

所以， 取，得，所以．………………11分

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則．                 ………………………………13分

所以平面與平面所成銳二面角為．     …………………………14分